Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, формулы

Определение
Если то бесконечная последовательность b₁, b₁q, b₁q², ..., b₁q^{n - 1},

... (b ? 0, q ? 0) называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Примеры решения
1)   Пусть b_n = 52ⁿ.   Тогда b₁ = 52, b₂ = 54, значит q = b₂b₁ = 12.

Геометрическая прогрессия 52, 54, 58, ..., 52ⁿ ... - бесконечно убывающая, так как
| q | = 12 < 1.

2)   Геометрическая прогрессия 3, -1, 13, - 19, ..., (-1)^{n - 1}3^{n - 2}, ... - бесконечно убывающая, так как q = - 13, | q | = 13 < 1.

Формула

Примеры решения
1)  Найти сумму 1 + 12 + 12² + ... + 12ⁿ + ...

Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1, 12, 12², ..., у которой b₁ = 1, q = 12.

Тогда S = 1+ 12 + 12² + ... + 12ⁿ + ... =       1      1 - 1/2 = 2.

2)  Представить 0,(45) в виде обыкновенной дроби.

Запишем 0,(45) = 0,454545... = 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + ... - это сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии, у которой b₁ = 0,45; q = 0,01.

Тогда 0,(45) =     0,45    1 - 0,01 = 4599.