Квадратные неравенства, формулы

загрузка...

Решение квадратных неравенств, примеры

Правило
Определяется значением дискриминанта D = b2 - 4ac
Правило 1
1.  D < 0.

1)  Если a > 0, то ax2 + bx + c = 0 при любом x;

2)  Если a < 0, то ax2 + bx + c < 0 при любом x.
Пример
3x2 + x + 4 ? 0.

D = -47 < 0;  a = 3 > 0,  значит 3x2 + x + 4 > 0 при любых x, т.е. исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.
Правило 2
2.  D = 0. Тогда ax2 + bx + c = a(x +   b  2a)2.

1)  Если a > 0, то ax2 + bx + c > 0 при любом x ? -   b  2a

и ax2 + bx + c = 0 при x = -   b  2a.

2)  Если a < 0, то ax2 + bx + c < 0 при любом x ? -   b  2a

и ax2 + bx + c = 0 при x = -   b  2a
Пример
-x2 + 2x - 1 < 0 - (x - 1)2 < 0 - верно при любом x ? 1.

Ответ: (-?; 1) (1; +?) (или R\{1}).
Правило 3
3.  D > 0. Тогда ax2 + bx + c = a (a - x1) (x - x2).

где x1, x2 - действительные и различные корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c. Пусть x1 < x2.

Решение квадратных неравенств, примеры

! В точках x1 и x2   ax2 + bx + c = 0.
Пример
2x2 - 13x + 15 ? 0.

D = 13x2 - 4 • 2 • 15 = 49 > 0;  x1 = 1,5;  x2 = 5,
значит 2x2 - 13x + 15 = 2(x - 1,5) (x - 5);
a = 2 > 0.

Решение квадратных неравенств, пример

Ответ: (-?; 1,5] [5; +?).

Квадратные неравенства с одной переменной 8, 9 класс

Правило
Квадратные неравенства, формула

Где a ? 0, b, c - числа, x - переменная, символ ?? может означать любой из
знаков: >, <, ?, ?.
Примеры
1)  -4x2 + 3 ? 0;

2)  6x2 - 5x + 13 < 0;

3)  x2 + 1 ? 0;

4)  -3x2 + x > 0.
Правило
Квадратные неравенства, правило