Иррациональные уравнения, формулы

загрузка...
Определение
Иррациональные уравнения - это такие уравнения, которые содержат переменную под знаком корня.

Решаются с помощью перехода к рациональным уравнениям или системам.

Примеры решения иррациональных уравнений 10, 11 класс

1. Возведение обеих частей уравнения в степень.

Формула
Иррациональные уравнения, формула
Правило
! При возведении в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому обязательно нужно выполнить проверку, подставляя полученные корни в исходное уравнение.

! Проверка часто упрощается, если найти ОДЗ уравнения. Посторонними будут корни, не принадлежащие ОДЗ.
Примеры решения
1)  ? x3 - x3 = x + 1 x3 - x = (x + 1)3 3x2 + 4x + 1 = 0 x1 = - 13, x = -1.

Ответ: {- 13; -1}

2)  ? x = x - 2 => x = (x - 2)2. x2 - 5x + 4 = 0 x1 = 4, x2 = 1.

Проверка: x1 = 4, ? 4 = 4 - 2 - верно

x2 = 1, ? 1 = 1 - 2 - ложно,

Значит x = 1 - посторонний корень.

2. Введение одной или нескольких новых переменных.

Пример решения
2? x23 + ? x3 = 3

Пусть y = ? x3.   Тогда 2y2 + y - 3 = 0 y1 = 1, y2 = - 32.

Значит ? x3 = 1 или ? x3 = - 32 x = 1 или x = - 278.

Ответ: {1; - 278}

3. Предварительный анализ ОДЗ и вида уравнения.

Пример решения
? 5 - x + ? 25 - x2 = 0

? 5 - x ? 0 и ? 25 - x2 ? 0 (как арифметические корни).

Значит из сумма равна нулю, только если:

? 5 - x = 0        x = 5      x = 5.   Ответ: 5.
? 25 - x2 = 0 x = ±5