Определенный интеграл, формулы

загрузка...
Правило
Пусть ? (x) ? 0 и непрерывна на [ a; b ]

криволинейная трапеция

Криволинейная трапеция - это фигура, ограниченная графиком y = ? (x),
прямыми x = a, x = b и осью OX (ABCD).

Построение интегральной суммы

Правила
1.  Разбить отрезок [ a; b ] на n частей точками x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b. Длина
k-го отрезка [ xk-1; xk ] равна ?xk = xk = xk-1, k = 1, 2, ..., n.

2. На каждом из отрезков [ xk-1; xk ] выберем произвольно точку ck [ xk-1; xk ] и вычислим ? (ck).

3.  Построим прямоугольники с основаниями ? xk и высотами ? (ck). Вычислим их площади: ? (ck) • ? xk.

4.  Просуммируем все произведения ? (ck) • ? xk:



Очевидно, что Sn ? S, где S - площадь криволинейной трапеции ABCD.

Чем больше n, тем точнее это равенство.

Сумма Sn вида (формула) называется интегральной суммой.

При n -> ? ( тогда ? xk -> 0 ) Sn -> S.

Определенный интеграл функции

Определение
Определенный интеграл функции ? от a до b - это предел последовательности интегральных сумм Sn:

Определенный интеграл

Где: a - нижний, b - верхний пределы интегрирования.