Делимость натуральных чисел

Признаки делимости натуральных чисел

Пусть n = a_k a_k-1 a_k-2 ... a₁ a₀,

где a_i - цифры (k + 1) - значного числа n,

i = 0, 1, ... k, a_k ? 0

Признаки делимости на:

Читай правильно

! Для того чтобы понять формулу признака делимости правильно,
прочтем ее на примере деления на 2:

Некое число n делится на 2 в том случае, если последняя цифра ( a₀ )
числа n равно { 0; 2; 4; 6; 8 }.

1. На 2. Последняя цифра - 0 или четное число.

Пример

964 : 2, т.к. a₀ = 4 : 2.

2. На 4.

Пример

1464 : 4, т.к. 64 : 4;

764 500 : 4;

325 431 6 : 4, т.к. 16: 4.

3. На 8.

Пример

1 344 : 8 т.к. 344 : 8;

73 624 : 8 т.к. 624 : 8.

4. На 3.

Пример

522 : 3 т.к. 5 + 2 + 2 = 9 : 3;

972 : 3 т.к. 9 + 7 + 2 = 18 : 3.

5. На 5.

Пример

355 : 5 т.к. a⁰ = 5 : 5;

35 340 : 5 т.к. a⁰ = 0;

6. На 9.

Пример

5 211 : 9 т.к. 5 + 2 + 1 + 1 = 9 : 9;

9 423 : 9 т.к. 9 + 4 + 2 + 3 = 18 : 9.

7. На 9.

Пример

1 450 : 10;

45 670 : 10.

8. На 25.

Пример

3 425 : 25 т.к. a₁ a₀ = 25 : 25;

2 750 : 25 т.к. a₁ a₀ = 50 : 25;

7 775 : 25 т.к. a₁ a₀ = 75 : 25;

9 100 : 25.

9. На 11. Число делится на 11, если сумма цифр, состоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, или отличается от нее на число, которое делится на 11

Пример

37 147 : 11 т.к. 3 + 1 + 7 = 9 + 2;

809 182 : 11 т.к. ( 8 + 9 + 8 ) - ( 0 + 1 + 2 ) = 22 : 11.

Таблица делимости натуральных чисел

На	Если	Примеры
2	Последняя цифра четная	2, 6 ,10, 24, 1000
3	Сумма цифр делится на три	36 3 + 6 = 9
4	число, образованное из последних двух цифр, делится на 4	2116 16 x 4 = 4
5	Последняя цифра 5 или 0	10, 20, 35, 1000
6	Последняя цифра четная, а сумма всех цифр делится на 3	6 324 6 + 3 + 2 + 4 = 15
9	Сумма цифр делится на 9	81 279 8 + 1 + 2 + 7 + 9 = 27
10	Последняя цифра 0	20, 400, 1 700