Квадратные неравенства, формулы
Решение квадратных неравенств, примеры
Правило
Определяется значением дискриминанта D = b2 - 4ac
Определяется значением дискриминанта D = b2 - 4ac
Правило 1
1. D < 0.
1) Если a > 0, то ax2 + bx + c = 0 при любом x;
2) Если a < 0, то ax2 + bx + c < 0 при любом x.
1. D < 0.
1) Если a > 0, то ax2 + bx + c = 0 при любом x;
2) Если a < 0, то ax2 + bx + c < 0 при любом x.
Пример
3x2 + x + 4 ? 0.
D = -47 < 0; a = 3 > 0, значит 3x2 + x + 4 > 0 при любых x, т.е. исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.
3x2 + x + 4 ? 0.
D = -47 < 0; a = 3 > 0, значит 3x2 + x + 4 > 0 при любых x, т.е. исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Правило 2
2. D = 0. Тогда ax2 + bx + c = a(x + b 2a)2.
1) Если a > 0, то ax2 + bx + c > 0 при любом x ? - b 2a
и ax2 + bx + c = 0 при x = - b 2a.
2) Если a < 0, то ax2 + bx + c < 0 при любом x ? - b 2a
и ax2 + bx + c = 0 при x = - b 2a
2. D = 0. Тогда ax2 + bx + c = a(x + b 2a)2.
1) Если a > 0, то ax2 + bx + c > 0 при любом x ? - b 2a
и ax2 + bx + c = 0 при x = - b 2a.
2) Если a < 0, то ax2 + bx + c < 0 при любом x ? - b 2a
и ax2 + bx + c = 0 при x = - b 2a
Пример
-x2 + 2x - 1 < 0
- (x - 1)2 < 0 - верно при любом x ? 1.
Ответ: (-?; 1)
(1; +?) (или R\{1}).
-x2 + 2x - 1 < 0
- (x - 1)2 < 0 - верно при любом x ? 1.
Ответ: (-?; 1)
(1; +?) (или R\{1}).
Правило 3
3. D > 0. Тогда ax2 + bx + c = a (a - x1) (x - x2).
где x1, x2 - действительные и различные корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c. Пусть x1 < x2.
! В точках x1 и x2 ax2 + bx + c = 0.
3. D > 0. Тогда ax2 + bx + c = a (a - x1) (x - x2).
где x1, x2 - действительные и различные корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c. Пусть x1 < x2.
! В точках x1 и x2 ax2 + bx + c = 0.
Пример
2x2 - 13x + 15 ? 0.
D = 13x2 - 4 • 2 • 15 = 49 > 0; x1 = 1,5; x2 = 5,
значит 2x2 - 13x + 15 = 2(x - 1,5) (x - 5);
a = 2 > 0.
Ответ: (-?; 1,5] [5; +?).
2x2 - 13x + 15 ? 0.
D = 13x2 - 4 • 2 • 15 = 49 > 0; x1 = 1,5; x2 = 5,
значит 2x2 - 13x + 15 = 2(x - 1,5) (x - 5);
a = 2 > 0.
Ответ: (-?; 1,5]
[5; +?).
Квадратные неравенства с одной переменной 8, 9 класс
Правило
Где a ? 0, b, c - числа, x - переменная, символ ?? может означать любой из
знаков: >, <, ?, ?.
Где a ? 0, b, c - числа, x - переменная, символ ?? может означать любой из
знаков: >, <, ?, ?.
Примеры
1) -4x2 + 3 ? 0;
2) 6x2 - 5x + 13 < 0;
3) x2 + 1 ? 0;
4) -3x2 + x > 0.
1) -4x2 + 3 ? 0;
2) 6x2 - 5x + 13 < 0;
3) x2 + 1 ? 0;
4) -3x2 + x > 0.
Правило
